선형 대수 예제

$4 a x - 3 y = 7$ , $- x - b y = 8$

단계 1

연립방정식을 행렬 형태로 씁니다.

$[\begin{array}{c} 4 x & 0 & 0 & - 3 & 7 \\ 0 & - 1 y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

단계 2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

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단계 2.1

$- 1 y$ 을 $- y$ 로 바꿔 씁니다.

$[\begin{array}{c} 4 x & 0 & 0 & - 3 & 7 \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

단계 2.2

$R_{1}$ 의 각 성분에 $\frac{1}{4 x}$ 을 곱해서 $1, 1$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 2.2.1

$R_{1}$ 의 각 성분에 $\frac{1}{4 x}$ 을 곱해서 $1, 1$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} \frac{4 x}{4 x} & \frac{0}{4 x} & \frac{0}{4 x} & \frac{- 3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

단계 2.2.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & - y & - 1 & 0 & 8 \end{array}]$

단계 2.3

$R_{2}$ 의 각 성분에 $- \frac{1}{y}$ 을 곱해서 $2, 2$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

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단계 2.3.1

$R_{2}$ 의 각 성분에 $- \frac{1}{y}$ 을 곱해서 $2, 2$ 의 항목을 $1$ 으로 만듭니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ - \frac{1}{y} \cdot 0 & - \frac{1}{y} (- y) & - \frac{1}{y} \cdot - 1 & - \frac{1}{y} \cdot 0 & - \frac{1}{y} \cdot 8 \end{array}]$

단계 2.3.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 & - \frac{3}{4 x} & \frac{7}{4 x} \\ 0 & 1 & \frac{1}{y} & 0 & - \frac{8}{y} \end{array}]$

단계 3

결과 행렬을 이용해 연립방정식의 최종 해를 구합니다.

$a - \frac{3 y}{4 x} = \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

단계 4

$a$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 4.1

방정식의 양변에서 $\frac{7}{4 x}$ 를 뺍니다.

$a - \frac{3 y}{4 x} - \frac{7}{4 x} = 0$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

단계 4.2

$a$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 4.2.1

방정식의 양변에 $\frac{3 y}{4 x}$ 를 더합니다.

$a - \frac{7}{4 x} = \frac{3 y}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

단계 4.2.2

방정식의 양변에 $\frac{7}{4 x}$ 를 더합니다.

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b + \frac{x}{y} = - \frac{8}{y}$

단계 5

$b$ 에 대해 식을 풉니다.

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단계 5.1

방정식의 양변에 $\frac{8}{y}$ 를 더합니다.

$b + \frac{x}{y} + \frac{8}{y} = 0$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

단계 5.2

$b$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

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단계 5.2.1

방정식의 양변에서 $\frac{x}{y}$ 를 뺍니다.

$b + \frac{8}{y} = - \frac{x}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

단계 5.2.2

방정식의 양변에서 $\frac{8}{y}$ 를 뺍니다.

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

$b = - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}$

$a = \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}$

단계 6

해는 연립방정식을 참이 되게 하는 순서쌍의 집합입니다.

$(\frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x}, - \frac{x}{y} - \frac{8}{y}, x, y)$

단계 7

각 행의 종속 변수에 대해 식을 풀고 기약행 사다리꼴 형태의 첨가 행렬로 표현된 각 방정식을 재정렬함으로써 벡터해를 분해하여 벡터 등식을 구합니다.

$X = [\begin{array}{c} a \\ b \\ x \\ y \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{3 y}{4 x} + \frac{7}{4 x} \\ - \frac{x}{y} - \frac{8}{y} \\ x \\ y \end{array}]$